Középiskolai témakörök

9.-12. osztályos matematika

A dölt betűtípussal jelölt témakörök az emelt szintű matematikai felkészítés részét kepzik.

9. osztály

1. Halmazok

  • Számhalmazok áttekintése és egymással való kapcsolatuk
  • Halmazelméleti alapfogalmak (alaphalmaz, részhalmaz, üreshalmat, stb...)
  • Halmazműveletek és tulajdonságaik (különbség, unió, metszet, komplementer, stb....)
  • Halmazok megadásának módjai: hozzárendelési szabállyal, elemeik felsorolásával (Venn-diagram), intervallumokkal
  • Halmazműveleti azonosságok
    (De Morgan azonosság)
  • Nevezetes pontok halmaza a síkban és térben.

2. Geometria

  • Síkidomok osztályozása
  • Háromszögek fajtái (általános, szabályos, egyenlő szárú, derékszögű, stb..)
  • Háromszögek tulajdonságai: szögeire és oldalaira vonatkozó összefüggések
  • Háromszögek nevezetes pontjainak halmaza: oldalfelező merőleges, szögfelező merőleges, súlyvonal, magasságvonal, középvonal és ezek metszéspontjai
  • Háromszögek területe
  • Pitagorasz-tétel és a tétel megfordítása, illetve bizonyítása, 
  • Thalész-tétel és a tétel megfordítása, illetve bizonyítása,
  • Speciális négyszögek és tulajdonságaik: paralelogrammák (rombusz, négyzet, téglalap), trapézok (egyenlő szárú, húrtrapéz), deltoid.
  • Konvex sokszögek és szabályos sokszögek
  • A kör geometriája: terület, kerület, körcikk és körív, középponti és kerületi szögek
  • Geometriai transzformációk: tengelyes- és középpontos tükrözés, párhuzamos eltolás (vektor fogalma), vektorok összege és különbsége grafikus megközelítéssel. 
  • Síkidomok egybevágósága és hasonlósága

3. Algebra

  • Műveleti azonosságok (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás), műveletvégzés sorrendje, zárójelek használata
  • Hatványozás: fogalmai, hatványozás azonosságai és permanencia elv
  • Számok normál alakja
  • Műveletek algebrai kifejezésekkel és különböző fokszámú polinomokkal
  • Nevezetes azonosságok (a+b)^2, (a-b)^2, (a+b)(a-b)
  • Átalakítás teljes négyzetre és szorzattá alakítás
  • Polinom osztása polinommal

4. Függvények

  • Alapfogalmak: a függvény fogalma, alaphalmaz és képhalmaz (értelmezési tartomány és értékkészlet), hozzárendelések (relációk: injekció, szürjekció, bijekció) és példák
  • Lineáris függvények tulajdonságai és ábrázolása
  • Abszolútérték függvények tulajdonságai és ábrázolása
  • Másodfokú függvények tulajdonságai és ábrázolása
  • Racionális törtfüggvények (1/x) tulajdonságai és ábrázolása
  • Függvénytranszformációk lépései, sorrendje, jelentései (a megfelelő alapfüggvényből kiindulva)
  • Függvények elemzése: értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, paritás.
  • Helyettesítési értékek kiszámítása
  • Egész rész, tört rész és szignum függvények
  • Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása (és ellenőrzés numerikus úton)
  • Egyszerű sorozatok

5. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

  • Az egyenletek és egyenlőtlenségek fogalma
  • Alaphalmaz és megoldáshalmaz (kikötések/feltételek az értelmezési tartományra és/vagy értékkészletre)
  • Lineáris (elsőfokú) vagy lineárisra visszavezethető egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának módszerei (mérlegelv és szorzattá alakítás)
  • Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása
  • Elsőfokú egyenletekre vezető szöveges feladatok megoldása (százalékszámítás, keveréses feladatok, együttes munkavégzés, stb...)
  • Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszerei (egyenlő együtthatók módszerével és behelyettesítéssel)
  • Három ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss-eliminációval

6. Statisztika

  • Adatsokaságok rendezése, rendezett adatok vizualizációi (vonaldiagram, egy és többsávos oszlopdiagram, kördiagram szerkesztése)
  • Középértékek: átlag, módusz, medián

10. osztály

1. Kombinatorika

  • Sorbarendezési feladatok (Permutáció)
  • Kiválasztási feladatok (.Kombináció, variáció és részhalmazok száma)
  • Gráfok

     2. Algebra

    • Bevezetés az irracionális számok halmazába
    • A négyzetgyökvonás azonosságai (és hatványozás azonosságainak kiterjesztése)
    • A négyzetgyök függvény és tulajdonságai
    • Kapcsolat a négyzetgyök és a másodfokú függvények között - az inverz függvény fogalma

    3. Másodfokú- és irracionális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

    • Általános másodfokú egyenletek megoldási módszerei: szorzattá alakítás (gyöktényezős alak), teljes négyzetté alakítás és a megoldóképlet alkalmazása.
    • Diszkrimináns, Viéte-formulák
    • Hiányos másodfokú egyenletek megoldása (szorzattá alakítás az ismeretlen kiemelésével vagy mérlegelv alapján)
    • Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása grafikus és/vagy numerikus módszerrel
    • Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek
    • Paraméteres egyenletek és egyenlőtlenségek
    • Másodfokú egyenletrendszerek
    • Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok
    • Irracionális (négyzetgyököt tartalmazó) egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása
    • Gyökvesztés és hamis gyök nyerés veszélyei irracionális és másodfokú egyenletek megoldása során (kezdeti/közbenső feltételek/kikötések)

 4. Geometria

  • Geometriai transzformációk
  • Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek: magasságtétel, befogótétel
  • Szögfelezőtétel
  • Kerületi és középponti szögek
  • Húrnégyszögek (húrnégyszügek tétele)
  • Körhöz húzott szelőszakaszok

5. Valószínűségszámítás és statisztika

  • Bevezetés a diszkrét valószínűségi eloszlásokba
  • Eseményalgebra alapjai
  • Valószínűségszámítási alapfogalmak (kedvező/összes, biztos és lehetetlen események)
  • Klasszikus valószínűségi modell fogalma és alkalmazása: a valószínűségszámítás kombinatorikai modellje
  • Adatsokaságok rendezése, rendezett adatok konverziója, vizualizációja (vonaldiagram, egy és többsávos oszlopdiagram, kördiagram szerkesztése)

6. Matematikai logika

  • Kétváltozós logikai műveletek (konjunkció, diszjunkció, negáció, implikáció)

11. osztály

1. Hatvány, gyök, logaritmus

  • Irracionális számok fogalma
  • Irracionális (négyzetgyököt tartalmazó) egyenletek és egyenlőtlenségek 
  • Gyökvesztés és hamis gyök nyerés veszélyei irracionális és másodfokú egyenletek megoldása során (kezdeti/közbenső feltételek/kikötések)
  • Nevezetes középértékek: számtani, mértani, kvadratikus, harmonikus, 
  • Tört kitevőjű hatványok (permanencia elv)
  • Exponenciális függvények
  • Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek
  • A logaritmus fogalma
  • A logaritmus azonosságai
  • Logaritmus függvények
  • A logaritmus és az exponenciális függvény kapcsolata az inverz függvény fogalmán keresztül
  • Logaritmus egyenletek, egenlőtlenségek, egyenletrendszerek

2. Számelmélet és oszthatóság

  • Oszthatósági szabályok
  • Prímszámok
  • Legnagyobb közös osztó (LNKO), legkisebb közös többszörös (LKKT) prímtényezős felbontással
  • Számok különböző számrendszerbeli alakjai, konverziók algoritmusa, műveletvégzés 10-es alapszámútól eltérő számrendszerekben
  • Polinomok osztása polinomokkal
  • Diofantoszi problémák és Euklideszi algoritmus
    (Kétváltozós lineáris Diofantoszi egyenletek)

3. Vektorok

  • A vektor fogalma és kapcsolódó alapfogalmak értelmezése (nullvektor, helyvektor, bázisvektor, vektor hossza)
  • Műveletek vektorokkal, vektorok felbontása merőleges vetületű komponensekre és vektorok forgatása 90°-kal.
  • Vektorok összegének és különbségének értelmezése  numerikusan és grafikusan (paralelogramma módszer és a sorbafűzés módszere)
  • Vektorműveletekkel kapcsolatos vegyes feladatok (két vektor skaláris szorzata és az általuk közrezárt szög közötti összefüggés)

4. Trigonometria
(Bevezetés a szögfüggvényekbe)

  • Hegyesszögek szögfüggvényei (sin, cos, tg, ctg)
  • Derékszögű háromszögek adatainak meghatározása szögfüggvények segítségével
  • Szinusztétel, koszinusztétel, trigonometrikus területképlet
  • Térgeometriai elemek adatainak meghatározása szögfüggvények segítségével

4. Forgásszögek szögfüggvényei

  • A szögfüggvények kiterjesztése és általánosítása tetszőleges forgásszögekre (egységkörön)
  • Szögfüggvények ábrázolása koordinátarendszerben és a periódus fogalmának bevezetése
  • Szögfüggvények inverz függvényei (arcsin, arccos, arctg, arcctg)
  • Addiciós tételek és egyéb szögfüggvényekre vonatkozó fontosabb azonosságok
  • Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek

5. Koordinátageometria

  • Két pont távolsága
  • Az egyenes egyenletei: normálvektoros/irányvektoros és iránytényezős explicit alakja (y = mx + b alak, irányszög, iránytangens, meredekség)
  • Pont és egyenes távolsága
  • Két egyenes metszéspontja
  • Párhuzamos és merőleges egyenesek, az egyenes normálvektora és irányvektora közötti kapcsolat
  • A kör egyenlete (általános és kanonikus alakjai, a kör középpontjának koordinátái és sugarának hossza)
  • Egyenes és kör kölcsönös helyzete (metszéspontjuk)
  • A kör érintőjének egyenlete (az érintőegyenes egy ismert pontja a kör körvonalán van)
  • A kör érintőinek egyenlete (az érintőegyenes egy ismert pontja a kör körvonalán kívül van)
  • Két kör kölcsönös helyzete (metszéspontjuk)
  • A parabola egyenlete

6. Kombinatorika és gráfok

  • Permutáció, kombináció, variáció fogalmának alkalmazása (ismétlés nélküli és ismétléses)
  • Számolás komplementer eseményekkel
  • Binomiális együtthatók, Pascal háromszög
  • A binomiális tétel
  • Gráfelmélet: gráfok jellemzői, típusai,
    gráfok izomorfiája, Euler-bejárás, sokszögek összes oldalának és átlóinak száma

6. Valószínűségszámítás és statisztika

  • Diszkrét valószínűségi mezők (klasszikus valószínűségi modell)
  • Binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel)
  • Hipergeometrikus eloszlás
    (visszatevés nélküli mintavétel)
  • Geometriai valószínűség
  • Várható érték
  • Statisztikai alapfogalmak: átlag, módusz, medián, szórás, terjedelem
  • Adatkonverziók és kördiagram szerkesztése
  • Box-plot (dobozdiagram vagy sodrófa diagram) értelmezése, szerkesztése, elemei és fogalmak: alsó- és felső kvartilis, félterjedelem, medián, kiugró értékek, min/max értékek

12. osztály

1. Sorozatok

  • Számtani sorozatok (n. tagja és első n tag összege és a differencia fogalma)
  • Mértani sorozatok (n. tagja és első n tag összege és a kvóciens fogalma)
  • Mértani sorozatok alkalmazása: kamatos kamat, hitel és törlesztőrészlet, gyűjtőjáradék, infláció, természettudományos folyamatok leírása mértani sorozatokkal
  • Racionális tört formában megadott explicit sorozatok jellemzői
  • Sorozatok határértéke és konvergenciája, monotonitás, korlátosság fogalma, határérték számítás és tulajdonságai.
  • Numerikus sorok konvergenciája, végtelen sorok összege

2. Differenciálszámítás

  • Bevezetés az analízisbe: függvények folytonossága, függvények határértékei
  • A differencia- és differenciálhányados fogalma numerikus és grafikus szemléltetés útján, differenciálhányados függvény (derivált függvény) fogalma
  • Derivált függvények kiszámítása alapfüggvények deriváltjainak és a deriválási szabályok alkalmazásával
  • Érintő egyenes egyenlete
  • Függvényvizsgálat differenciálszámítás alkalmazásával: szélsőérték és monotonitás, inflexiós pontok és konvexitás, kapcsolat a függvény monotonitása/konvexitása és a derivált függvények előjele között.

3. Integrálszámítás

  • Bevezetés az integrálszámításba, a határozatlan integrál fogalma (mint primitív függvény)
  • Az integrálszámítás tulajdonságai
  • Határozott integrálok fogalma (Newton-Leibniz formula),geometriai jelentése
  • Két függvény által közrezárt síkrész területe
  • Felsőfokú tanulmányokra felkészítés

4. Valószínűségszámítás és statisztika

  • Diszkrét valószínűségi mezők (klasszikus valószínűségi modell)
  • Binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel)
  • Hipergeometrikus eloszlás
    (visszatevés nélküli mintavétel)
  • Geometriai valószínűség
  • Várható érték
  • Statisztikai alapfogalmak: átlag, módusz, medián, szórás, terjedelem
  • Adatkonverziók és kördiagram szerkesztése
  • Box-plot (dobozdiagram vagy sodrófa diagram) értelmezése, szerkesztése, elemei és fogalmak: alsó- és felső kvartilis, félterjedelem, medián, kiugró értékek, min/max értékek